الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدأهمالمفاهيمفيالرياضيات،حيثتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.تتكونالأعدادالمركبةمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart)،وتُكتبعادةًبالصيغة(a+bi)،حيث(a)هوالجزءالحقيقي،و(b)هوالجزءالتخيلي،و(i)هيالوحدةالتخيليةالتيتُعرفبأنها(i=\sqrt{ -1}).
أساسياتالأعدادالمركبة
- الجزءالحقيقيوالجزءالتخيلي:
- فيالعددالمركب(z=a+bi)،يُسمى(a)بالجزءالحقيقي،بينما(bi)هوالجزءالتخيلي.
إذاكان(b=0)،يصبحالعددحقيقياً،أماإذاكان(a=0)،فيُسمىالعددتخيلياًخالصاً.
الوحدةالتخيلية(i):
- تُعرف(i)بأنهاالجذرالتربيعيللعدد(-1)،أي(i^2=-1).
- تتبع(i)دورةقيمية:
[i^1=i,شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات\quadi^2=-1,\quadi^3=-i,\quadi^4=1,\quad\text{ ثمتتكرر}]
العملياتعلىالأعدادالمركبة
- الجمعوالطرح:
- عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]
الضرب:
- نستخدمخاصيةالتوزيع(FOIL)معمراعاةأن(i^2=-1).
مثال:
[(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)=2-2i+3i-3i^2=2+i+3=5+i]القسمة:
- لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)لإزالة(i)منالمقام.
- مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}\times\frac{ 3+4i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ 9+16}=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 25}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1+2i}{ 5}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b).
استخداماتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-تحليلالدوائرالكهربائية.
-معالجةالإشاراتوالاتصالات.
-حلالمعادلاتالتفاضلية.
-الرسوماتالحاسوبيةوالهندسة.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتُستخدمفيحلمسائللايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وإتقانالعملياتالأساسيةعليها.
